ζ(2)の値を求めたい。

こんにちは．数学科B2です．Fourier級数を用いて $\zeta(2)$ の値を求めたいと思います．証明等，詳しくは応用数理概論の授業で扱います．

※HTMLの都合上アンドの記号（アンパサンド）を打つとamp;という文字に置き換わってしまっているので，そこは空白と思って読んでください．

目標

$\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \quad s\in \mathbb{R}$

で特に $s=2$ とした値を求めること．

準備

周期関数の定義

$f : \mathbb{R}→\mathbb{C}$ とするとき， $p$ は $f(x+p)=f(x)$ を満たすとする．このとき $f$ の周期は $p$ であるという．

Fourier級数の定義

$f$ の周期を $2\pi$ とする．

$a_n=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx) \mathrm{d} x \quad (n=0,1,2,\cdots)$

$b_n=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx) \mathrm{d} x \quad (n=1,2,\cdots)$

が存在するとき， $a_n, b_n$ を $f(x)$ のFourier係数といい，

$f(x)\, 〜\, \dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})$

と書きこれを $f(x)$ のFourier級数という．

Rem.

$\cos x, \sin x$ はそれぞれ偶関数，奇関数だから， $f(x)$ が偶関数であれば $b_n=0$ ， $f(x)$ が奇関数であれば $a_n=0$ となります．

例． $|x|$ を周期 $2\pi$ の関数として $\mathbb{R}$ 全体に拡張した関数を $f(x)$ とおく．( $f(x)$ はこんなグラフ)

このとき $f(x)$ は偶関数だから，

$a_0=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}x \mathrm{d}x=\pi.$

$\begin{align} a_n &= \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\cos{nx}\mathrm{d}x \\\ &= \dfrac{2}{\pi}\left[x\dfrac{\sin{nx}}{n}+\dfrac{\cos{nx}}{n^2}\right]^{\pi}_0 \\\ &= \dfrac{2}{\pi}\dfrac{(-1)^n-1}{n^2}=\begin{cases} -\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{(2k-1)^2} & \quad (n=2k-1) \cr 0 & \quad (n=2k) \end{cases}\end{align}$

$b_n=0$

ゆえに $f(x)$ のFourier級数は以下のようになります．

$f(x)\, 〜\, \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4}{\pi}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}\cos{(2k-1)x}.$

$f(x)$ は $\mathbb{R}$ で，特に $[-\pi,\, \pi]$ で連続． $f(a\pm 0):=\lim_{a\to \pm 0}f(x)$ としたとき， $-\pi=c_0 \lt c_1 \lt \cdots \lt c_n=\pi$ で， $f^{\prime}(c_j \pm 0)$ が存在します．（この二つを満たすことを $f(x)$ は $[-\pi,\, \pi$ ]で区分的に滑らかといいます．)

$f$ のFourier級数の部分和， $s_N(f,x)$ を $s_N (f,x):= \dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})$ と定めます．

一般に $f(x)$ が周期 $2\pi$ をもち， $[-\pi,\, \pi$ ]で区分的に滑らかかつ $f(x)$ が点 $x_0$ で連続としたとき，

$\displaystyle\lim_{N\to \infty}s_N (f,x_0)=f(x_0)$

が成り立ちます．

$|x|$ を周期 $2\pi$ の関数として $\mathbb{R}$ 全体に拡張した関数を $f(x)$ とおけば，これは $|x| \le \pi$ で区分的に滑らかでこの区間で連続なので， $|x| \le \pi$ のもとでは

$|x|=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4}{\pi}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2k-1)^2} \cos{(2k-1)x}.$

とできます． $x=0$ として，

$\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4}{\pi}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2k-1)^2} =0$ ，すなわち $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2k-1)^2} =\dfrac{\pi^2}{8}$

また， $\zeta(2)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2k)^2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2k-1)^2}=\dfrac{\zeta(2)}{4}+\dfrac{\pi^2}{8}$

ゆえ， $\zeta(2)=\dfrac{4}{3}\dfrac{\pi^2}{8}=\dfrac{\pi^2}{6}$

Parsevalの等式を利用すれば $|x|$ のFourier級数の式から $\zeta(4)=\dfrac{\pi^4}{90}$ を示すこともできます．

ちなみに $\zeta(2)$ の収束性だけは簡単に示せて，（よく使う！）

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=1+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}\lt 1+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{(n-1)n}=1+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\left(\dfrac{1}{(n-1)}-\dfrac{1}{n}\right)=2$

より簡単な不等式評価で示せます．

数Ⅲ程度の積分を解くだけでゼータ関数の値を求められるってなんか良いですよね！授業受けててめっちゃワクワクしてた記憶があります．

これらの数式の入力には $\TeX$ というのを使っています． $\TeX$ は数式だったり化学の記号，またグラフなどが打てるWordと思ってもらえればOKです．理系の人なら習得しておきたい事柄の一つですね．数学畑の人は $\LaTeX$ というのを使えればレポートや研究発表に困ることがないです．おすすめの $\LaTeX$ の本貼っておきますので興味があれば見てみてください．数理科図書館にも何冊か置いてあったはずなので覗いてみてください！

https://www.amazon.co.jp/改訂第8版-LaTeX2ε美文書作成入門-奥村晴彦/dp/4297117126